ساختارهای برپیچنده و محکم در هندسه تماس

هندسه تماسی به بررسی ساختارهای تماسی روی منیفلدهای هموار می پردازد. در این پژوهش انواع ساختارهای تماسی و رابطه آنها با یکدیگر را بررسی می کنیم. در فصل اول ابتدا مفاهیم مورد نیاز را مطرح نموده و مباحثی از هندسه دیفرانسیل (نظیر برگ بندی، شار و جهت پذیری)، نکاتی از توپولوژی دیفرانسیل (نظیر تقاطع و عدد اشتراک) و مفاهیمی از توپولوژی جبری (همچون سادک ها و cw‎مجتمع ) را بیان می کنیم و در پایان این فصل به تعاریف مقدماتی هندسه تماس و نظریه گره اشاره می کنیم. از آنجا که ساختارهای تماسی به دو نوع برپیچنده و محکم تقسیم می شوند، در فصل دوم ساختار تماسی برپیچنده را معرفی نموده و ثابت می کنیم که چگونه با استفاده از پیچش لوتز می توان هر ساختار تماسی را به یک ساختار تماسی برپیچنده تبدیل کرد. سپس قضیه مهم و اساسی الیشبرگ را که به رابطه بین ساختارهای تماسی برپیچنده و توزیعات مسطح دو بعدی می پردازد، مطرح نموده و با استفاده از مفاهیمی همچون برگ بندی مشخصه روی کره ها، برهان این قضیه را ارائه می دهیم. در پایان این فصل، چگونگی دستیابی به ساختارهای برپیچنده تماسی را بیان می نماییم وآن را با استفاده از لم حذف اثبات می کنیم. در فصل سوم، ابتدا به معرفی ساختار تماسی محکم پرداخته و برای درک بهتر آن،مثال هایی را ارائه می دهیم. سپس این ساختار را در فضای سه بعدی مطرح می نماییم. در پایان منیفلد سفت و برگ بندی سفت را تعریف کرده و با اثبات قضیه اصلی، رابطه بین این نوع ساختار تماسی و برگ بندی سفت را بیان می کنیم.